รูท (ราก) และสมการเลขยกกำลัง

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน (เรื่องรูท / ราก)

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน ตัวส่วนจะกลายเป็น "อันดับของราก" มีข้อควรรู้ดังนี้:

รากที่สอง (Square Root): $a^{\frac{1}{2}} = a$
รากที่สาม (Cube Root): $a^{\frac{1}{3}} = 3 a$
- เทคนิค: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}$ (ทำตัวส่วนเป็นราก แล้วยกกำลังตัวเศษ)
- ตัวอย่าง: $12 5^{\frac{2}{3}} = 3 12 5^{2} = (3125)^{2} = 5^{2} = 25$ (ถอดรากก่อนเลขจะน้อยลง แล้วค่อยยกกำลัง)
เลขชี้กำลังติดลบเป็นเศษส่วน: $a^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{a ^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 a ^{3}}$
ดึงเศษส่วนขึ้น: $\frac{1}{a ^{- \frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{4}} = 4 a$
การถอดรากที่สอง: มีเลขซ้ำ 2 ตัว ดึงออกมานอกรูทได้ 1 ตัว
- ตัวอย่าง: $9 = 3 \times 3 = 3$
- ตัวอย่าง: $144 = 12 \times 12 = 12$
การถอดรากที่สาม: มีเลขซ้ำ 3 ตัว ดึงออกมานอกรูทได้ 1 ตัว
- ตัวอย่าง: $364 = 3 4 \times 4 \times 4 = 4$

การแก้สมการเลขยกกำลัง

หลักการสำคัญ: ต้องพยายามทำ "ฐาน" ทั้งสองฝั่งให้เท่ากันก่อน แล้วจึงจับ "เลขชี้กำลัง" มาเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า $x$ เมื่อ $8^{x + 2} = 1 6^{4}$

วิธีทำ ทำฐานให้เป็น 2 ทั้งสองฝั่ง แปลง 8 เป็น $2^{3}$ และแปลง 16 เป็น $2^{4}$

(2^{3})^{x + 2} 2^{3 (x + 2)} 2^{3 x + 6} = (2^{4})^{4} = 2^{4 \times 4} = 2^{16}

เมื่อฐานเท่ากันแล้ว จับเลขชี้กำลังมาเท่ากัน:

3 x + 6 3 x 3 x x = 16 = 16 - 6 = 10 = \frac{10}{3}

ตอบ $x = \frac{10}{3}$

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า $3 (2 + x)^{4} = 48$ แล้ว $(1 + x)^{3}$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ แก้สมการหา $x$ ก่อน

(2 + x)^{4} (2 + x)^{4} (2 + x)^{4} = \frac{48}{3} = 16 = 2^{4}

เลขชี้กำลังคู่ $2 + x = \pm 2$ (แต่ในโจทย์นี้สมมติให้ใช้ค่าบวก)

2 + x x = 2 = 0

นำไปแทนค่าในสิ่งที่โจทย์ถาม

(1 + x)^{3} = (1 + 0)^{3} = 1^{3} = 1

ตอบ 1

ตัวอย่างที่ 3 จงหาว่า $(7^{2} \times 2^{50}) \times 5^{53}$ เป็นจำนวนกี่หลัก ทริค: ต้องจับคู่ $2 \times 5 = 10$ เพราะเลขที่คูณ 10 จะเป็นการเติม 0 ด้านหลัง

วิธีทำ ดึงฐาน 2 และ 5 ให้เลขชี้กำลังเท่ากัน

จำนวน = 7^{2} \times 2^{50} \times (5^{50} \times 5^{3}) = 7^{2} \times 5^{3} \times (2^{50} \times 5^{50}) = 49 \times 125 \times (2 \times 5)^{50} = 6125 \times 1 0^{50}

วิเคราะห์: $6125$ มี 4 หลัก และ $1 0^{50}$ มีเลข 0 ตามหลัง 50 ตัว รวมจำนวนหลัก = 4 + 50 = 54 หลัก

ตอบ 54 หลัก

🌟 เพิ่มเติม: ฝึกเรื่องรูทและสมการเลขยกกำลัง (ระดับ ง่าย-กลาง-ยาก)

ตัวอย่างเสริม 1 (ง่าย): ค่าของ $2 7^{\frac{2}{3}}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ เปลี่ยน 27 เป็น $3^{3}$

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

ตอบ 9

ตัวอย่างเสริม 2 (ง่าย): จงหาค่า $x$ จากสมการ $5^{2 x} = 125$

วิธีทำ เปลี่ยน 125 ให้เป็นฐาน 5

5^{2 x} 2 x x = 5^{3} = 3 = \frac{3}{2}

ตอบ $\frac{3}{2}$

ตัวอย่างเสริม 3 (กลาง): ถ้า $4^{x} = 256$ จงหาค่า $x$

วิธีทำ จัดรูปรากที่สองให้เป็นเลขชี้กำลังเศษส่วน

(4^{x})^{\frac{1}{2}} 4^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} x = 256 = 4^{4} = 4 = 8

ตอบ 8

ตัวอย่างเสริม 4 (ยาก): ถ้า $\frac{9 ^{x - 1}}{3 ^{y}} = 27$ และ $2^{x - y} = 4$ จงหาค่าของ $x \times y$

วิธีทำ จัดรูปสมการทั้ง 2 สมการที่ 1 จัดให้อยู่ในรูปฐาน 3:

\frac{( 3 ^{2} ) ^{x - 1}}{3 ^{y}} \frac{3 ^{2 x - 2}}{3 ^{y}} 3^{(2 x - 2) - y} 2 x - y - 2 2 x - y = 3^{3} = 3^{3} = 3^{3} = 3 = 5 — (1)

สมการที่ 2 จัดให้อยู่ในรูปฐาน 2:

2^{x - y} x - y = 2^{2} = 2 — (2)

นำ (1) - (2): $(2 x - y) - (x - y) = 5 - 2 \to x = 3$ แทนค่า $x = 3$ ใน (2): $3 - y = 2 \to y = 1$ ผลคูณ $x \times y = 3 \times 1 = 3$

ตอบ 3

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน (เรื่องรูท / ราก)

การแก้สมการเลขยกกำลัง

🌟 เพิ่มเติม: ฝึกเรื่องรูทและสมการเลขยกกำลัง (ระดับ ง่าย-กลาง-ยาก)

จบบทเรียนนี้แล้ว