สมบัติและการคำนวณรากที่สอง (Square Root)

นิยามรากที่สอง

รากที่สองของ $a$ คือ จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $a$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ​ (รูท) จากนิยาม รากที่สองของ $a$ จะมี 2 ค่า คือ $\sqrt{a}$ (ค่าบวก) และ $-\sqrt{a}$ (ค่าลบ)

🎯 TRICK สำคัญ ที่ข้อสอบชอบหลอก!

• ถ้าโจทย์ถามคำว่า "รากที่สองของ 4" ต้องตอบ 2 ค่า คือ $+2$ และ $-2$ (หรือ $\pm 2$)
• แต่ถ้าโจทย์เขียนมาเป็นสัญลักษณ์ "$\sqrt{4}$" ต้องตอบค่าบวกเท่านั้น คือ $2$

ถ้าหากถอดรากแบบตัวเลขลงตัวไม่ได้: ให้ติดค่ารูทไว้

• รากที่สองของ 3 คือ $\pm \sqrt{3}$ (ทั้ง $\sqrt{3}$ และ $-\sqrt{3}$)

ตัวอย่าง:

1. รากที่สองของ 36 คือ $\sqrt{36}$ และ $-\sqrt{36}$ (ซึ่งมีค่าเท่ากับ $6$ และ $-6$)
2. รากที่สองของ 9 คือ $\sqrt{9}$ และ $-\sqrt{9}$ (ซึ่งมีค่าเท่ากับ $3$ และ $-3$)
3. เลขทศนิยม: รากที่สองของ 0.81 คือ $\sqrt{0.81}$ และ $-\sqrt{0.81}$
   • ทริค: ทศนิยม 2 ตำแหน่ง เมื่อถอดรากที่สอง จะเหลือ 1 ตำแหน่ง (นำตำแหน่งมาหาร 2) $\to$ ตอบ $0.9$ และ $-0.9$
4. เลขทศนิยม: รากที่สองของ 0.0064 คือ $\sqrt{0.0064}$ และ $-\sqrt{0.0064}$
   • ทริค: ทศนิยม 4 ตำแหน่ง ถอดรากเหลือ 2 ตำแหน่ง $\to$ ตอบ $0.08$ และ $-0.08$

สมบัติต่างๆ ของรากที่สอง

1. การคูณกันของราก: $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$

• กฎการจำ: "นอกคูณนอก ในคูณใน" (เลขหน้ารูทคูณกัน เลขในรูทคูณกัน) และถ้าจับคู่ในรูทได้ 2 ตัว ให้เตะออกมานอกรูท 1 ตัว
• ตัวอย่าง: $\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}$
• ตัวอย่างโจทย์: $2\sqrt{8}\times \sqrt{125}\times \sqrt{40}$
  • แยกตัวประกอบในรูท: $2\sqrt{2\times 2\times 2}\times \sqrt{5\times 5\times 5}\times \sqrt{2\times 2\times 2\times 5}$
  • รวมทุกอย่างเข้าไปในรูทใหญ่ แล้วจับคู่เลขเหมือนกัน 2 ตัวดึงออกมา:
  • ดึงเลขที่มีคู่: $2\times (2\times 5\times 2\times 2\times 5)$
  • = $4\times 10\times 10=400$

2. การหารกันของราก: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

• กฎการจำ: "นอกหารนอก ในหารใน" สามารถรวบเศษส่วนเข้าไปอยู่ในรูทเดียวกันเพื่อให้ตัดท่องตัดกันได้ง่ายขึ้น
• ตัวอย่าง: $\sqrt{\frac{3}{7}}\times \sqrt{\frac{49}{12}}\times \sqrt{\frac{24}{14}}\times \sqrt{\frac{1}{3}}$
  • รวบให้อยู่ในรูทใหญ่: $\sqrt{\frac{3\times 49\times 24\times 1}{7\times 12\times 14\times 3}}$
  • ตัดทอนเศษส่วนด้านใน $\to$ ได้ $1$
  • $\sqrt{1}=1$
• ตัวอย่างโจทย์: $\frac{5\sqrt{12}}{7\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{14}}{6\sqrt{2}}$
  • ตัด "ในหารใน": $\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{4}=2$ และ $\sqrt{14}÷\sqrt{2}=\sqrt{7}$
  • จัดรูปใหม่: $(\frac{5}{7}\times 2)\times \frac{\sqrt{7}}{6}$
  • = $\frac{10}{7}\times \frac{\sqrt{7}}{6}$ = $\frac{5\sqrt{7}}{21}$

3. การบวกลบกันของราก:

• กฎสำคัญ: ถ้าด้านหลัง (ค่าในรูท) เหมือนกัน จึงจะสามารถจับสัมประสิทธิ์ด้านหน้า + หรือ - กันได้ เหมือนการบวกลบสมการ $3x+5x=8x$

• ตัวอย่างโจทย์: $\sqrt{98}+\sqrt{128}+\sqrt{512}-\sqrt{200}$

  • แยกตัวประกอบแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย (ดึงตัวเลขออกจากรูท):
    • $\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=7\sqrt{2}$
    • $\sqrt{128}=\sqrt{64\times 2}=8\sqrt{2}$
    • $\sqrt{512}=\sqrt{256\times 2}=16\sqrt{2}$
    • $\sqrt{200}=\sqrt{100\times 2}=10\sqrt{2}$
  • จะมีรูทตัวเดียวกันคือ $\sqrt{2}$ ให้นำเฉพาะเลขข้างหน้ามาบวกลบกัน:
  • $(7+8+16-10)\sqrt{2}=21\sqrt{2}$
  • ตอบ: $21\sqrt{2}$

กำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง (ออกสอบบ่อยมาก)

สูตรพีชคณิตเหล่านี้มักถูกนำมาประยุกต์ใช้เพื่อคำนวณหาผลลัพธ์ที่ตัวเลขเยอะๆ ได้อย่างรวดเร็ว

• กำลังสองสมบูรณ์ (บวก): $(u+a{)}^2=u^2+2ua+a^2$ (หน้าบวกหลังทั้งหมดยกกำลังสอง = หน้ากำลังสองบวกสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง)
  • ตัวอย่างโจทย์ประยุกต์: $(x+3{)}^2=x^2+(2)(x)(3)+3^2=x^2+6x+9$
• กำลังสองสมบูรณ์ (ลบ): $(u-a{)}^2=u^2-2ua+a^2$ (หน้าลบหลังทั้งหมดยกกำลังสอง = หน้ากำลังสองลบสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง)
• ผลต่างกำลังสอง: $u^2-a^2=(u-a)(u+a)$ (หน้ากำลังสองลบหลังกำลังสอง = หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง)

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สูตรเพื่อลัดคำนวณ โจทย์ 1: จงหาค่า $1101^2-899^2$

วิธีทำ อยู่ในรูป "ผลต่างกำลังสอง" ($หน้{า}^2-หลั{ง}^2$) เข้าสูตร = (หน้า - หลัง)(หน้า + หลัง)

ตอบ 404,000

โจทย์ 2: จงหาค่าของ $(8.34\times 8.34)-(2\times 8.34\times 2.34)+(2.34\times 2.34)$

วิธีทำ สังเกตรูปแบบสมการ มันคือโครงสร้างของ "กำลังสองสมบูรณ์แบบลบ" ให้ หน้า (u) = $8.34$ และ หลัง (a) = $2.34$ สมการคือ $u^2-2ua+a^2$ ซึ่งสามารถยุบกลับเป็น $(u-a{)}^2$

ตอบ 36