นาฬิกา สถิติ ความน่าจะเป็น และการจัดหมู่

1. การจับมือ / แจกการ์ด / เส้นทแยงมุม

โจทย์ปัญหากลุ่มนี้มักมีแนวคิดตายตัว เพียงแค่จำสูตรไปใช้ได้เลย:

• สูตรที่ 1: แจกการ์ด / ของขวัญ (ทำแบบได้ไปและได้กลับ 2 ทาง) จำนวนรวม = $n(n-1)$
• สูตรที่ 2: จับมือ / ทักทาย / แข่งกีฬากันรอบเดียว (แบบไม่มีอันดับ หรือทิศทางเดียว) จำนวนครั้ง = $\frac{n(n-1)}{2}$
• สูตรที่ 3: จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยม จำนวนเส้น = $\frac{n(n-3)}{2}$ (n คือ จำนวนคน, หรือจำนวนด้านของเหลี่ยม)

ตัวอย่างที่ 1 นักเรียน 12 คน แลกการ์ดปีใหม่กันทุกคนจะต้องใช้การ์ดรวมทั้งหมดกี่ใบ?

วิธีทำ แลกการ์ดใช้สูตร $n(n-1)$

ตอบ 132 ใบ

ตัวอย่างที่ 2 ทีมฟุตบอล 6 ทีม แข่งแบบพบกันหมด 1 รอบ จะมีการแข่งขันกี่แมตช์?

วิธีทำ แข่งแบบพบกันหมด 1 รอบ เหมือนการจับมือ

ตอบ 15 แมตช์

ตัวอย่างที่ 3 รูป 10 เหลี่ยม มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น?

วิธีทำ ใช้สูตรเส้นทแยงมุม

ตอบ 35 เส้น

2. สถิติ และค่ากลางของข้อมูล

• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean): $\bar{x}=\frac{ผลรวมข้อมูลทั้งหมด}{จำนวนของข้อมูล}$
• มัธยฐาน (Median): ค่ากึ่งกลาง เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมากแล้ว (หาตำแหน่งที่ $=\frac{n+1}{2}$)
• ฐานนิยม (Mode): ข้อมูลที่มีความถี่หรือซ้ำกันมากที่สุดในกลุ่ม
• พิสัย (Range): ค่าที่มากที่สุด - ค่าที่น้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดข้อมูล: 8, 12, 10, 8, 17 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม

วิธีทำ เรียงข้อมูลก่อน: 8, 8, 10, 12, 17

• ค่าเฉลี่ย: $\frac{8+8+10+12+17}{5}=\frac{55}{5}=11$
• มัธยฐาน (ตัวตรงกลาง): มี 5 ตัว ตำแหน่งตรงกลางคือตัวที่ $\frac{5+1}{2}=3$ ซึ่งคือเลข 10
• ฐานนิยม: เลขที่ซ้ำมากที่สุด คือ 8

3. สูตรลัด มุมของนาฬิกา

สูตรเด็ด: $|30H-5.5M|$ H = เข็มชั่วโมง (Hour), M = เข็มนาที (Minute) หมายเหตุ: คำตอบจะออกมาเป็นหน่วยองศาแบบมุมเล็ก หากโจทย์ถามมุมกลับ ให้นำมุมเล็กที่ได้ไปลบออกจาก $360^{\circ }$

ตัวอย่างที่ 5 เวลา 14:40 น. เข็มสั้นกับเข็มยาวทำมุมกันกี่องศา?

วิธีทำ H = 2 (เลข 14 คือบ่าย 2 เข็มสั้นชี้เลข 2), M = 40

ตอบ 160 องศา

4. ความน่าจะเป็น (Probability)

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$ หรือ $\frac{เหตุการณ์ที่เราสนใจ}{เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด}$

ตัวอย่างที่ 6 โยนเหรียญ 3 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ

วิธีทำ โยนเหรียญ 3 เหรียญ จำนวนแบบทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น $n(S)=2\times 2\times 2=8$ แบบ (หัวอย่างน้อย 1 เหรียญ คิดง่ายๆ คือเอาแบบทั้งหมดลบด้วยโอกาสที่จะ ไม่ออกหัวเลย) ไม่ออกหัวเลย คือ ออก "ก้อย-ก้อย-ก้อย" มีอยู่ 1 วิธี (ก้อยล้วน) ดังนั้น ออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญจึงมี $8-1=7$ แบบ

ตอบ $\frac{7}{8}$

ตัวอย่างที่ 7 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก สุ่มหยิบ 1 ลูก โอกาสได้สีแดงคือเท่าใด?

วิธีทำ ลูกบอลทั้งหมด $=5+3=8$ ลูก ($n(S)=8$) ลูกบอลสีแดงมี 5 ลูก ($n(E)=5$) ดังนั้น ความน่าจะเป็น $=\frac{5}{8}$

ตอบ $\frac{5}{8}$