พื้นที่และเส้นรอบรูปแบบต่างๆ

การหาพื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปเรขาคณิตสองมิติเป็นพื้นฐานสำคัญที่นำไปประยุกต์ใช้ในการแก้โจทย์คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตประจำวัน

1.1 พื้นที่รูปสามเหลี่ยม

สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ โดยทั่วไปจะใช้สูตรพื้นฐานดังนี้:

• พื้นที่ $\Delta$ ใดๆ = $\frac{1}{2}\times \text{ฐาน}\times \text{สูง}$
• พื้นที่ $\Delta$ ด้านเท่า = $\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\text{ด้าน}{)}^2$

1.2 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมแบบต่างๆ

1. สี่เหลี่ยมมุมฉาก

• พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = $\text{ด้าน}\times \text{ด้าน}$ หรือ $\frac{1}{2}\times (\text{เส้นทแยงมุม}{)}^2$
• พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = $\text{กว้าง}\times \text{ยาว}$

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานและขนมเปียกปูน

• พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = $\text{ฐาน}\times \text{สูง}$
• พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = $\text{ฐาน}\times \text{สูง}$ หรือ $\frac{1}{2}\times \text{ผลคูณของเส้นทแยงมุม}$

3. สี่เหลี่ยมคางหมู ว่าว และด้านไม่เท่า

• พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = $\frac{1}{2}\times \text{ผลบวกด้านคู่ขนาน}\times \text{สูง}$
• พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = $\frac{1}{2}\times \text{ผลคูณของเส้นทแยงมุม}$
• พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = $\frac{1}{2}\times \text{เส้นทแยงมุม}\times \text{ผลบวกของเส้นกิ่ง}$

1.3 พื้นที่และเส้นรอบวงของวงกลม

วงกลมมีสูตรหลักๆ ที่ต้องจำ 2 สูตร คือ การหาพื้นที่และการหาเส้นรอบวง

• เส้นรอบวง = $2\pi r$ หรือ $\pi d$
• พื้นที่วงกลม = $\pi r^2$ หรือ $\frac{\pi d^2}{4}$

(หมายเหตุ: $\pi \approx \frac{22}{7}$ หรือ $3.14$, $r=\text{รัศมี}$, $d=\text{เส้นผ่านศูนย์กลาง}$ โดย $d=2r$)

เคล็ดลับการทำโจทย์วงกลม

1. อ่านโจทย์ให้ดีว่าถามหา "เส้นรอบวง", "พื้นที่", หรือ "ผลต่าง"
2. หากโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง ($d$) มา อย่าลืมหาร 2 เพื่อหารัศมี ($r$) ก่อนนำไปแทนลงในสูตรที่มี $r$
3. บางครั้งโจทย์อาจให้หาความยาวเพียงครึ่งวงกลมหรือเสี้ยววงกลม ต้องนำองศามาหาร $360$ เสมอ

ตัวอย่างโจทย์ (ระดับง่าย - กลาง - ยาก)

ตัวอย่างที่ 1: ระดับง่าย (พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า)

สนามหญ้าแห่งหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 15 เมตร และยาว 25 เมตร ถ้าต้องการปูหญ้าใหม่ทั้งหมด จะต้องซื้อหญ้ากี่ตารางเมตร?

วิธีทำ จากสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า $\text{พื้นที่}=\text{กว้าง}\times \text{ยาว}$ $\text{พื้นที่}=15\times 25$ $\text{พื้นที่}=375$

ดังนั้น จะต้องซื้อหญ้าทั้งหมด 375 ตารางเมตร!

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูร่วมกับวงกลม)

สระน้ำรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้านคู่ขนานยาว 10 เมตร และ 16 เมตร มีระยะห่างระหว่างด้านคู่ขนาน (ความสูง) 8 เมตร ต้องการสร้างแปลงดอกไม้รูปครึ่งวงกลมติดกับด้านที่ยาว 10 เมตร โดยใช้ด้านนั้นเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จงหาพื้นที่ทั้งหมดรวมกัน (กำหนด $\pi =3.14$)

วิธีทำ ขั้นที่ 1: หาพื้นที่สระน้ำรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $\text{พื้นที่คางหมู}=\frac{1}{2}\times \text{ผลบวกด้านคู่ขนาน}\times \text{สูง}$ $\text{พื้นที่คางหมู}=\frac{1}{2}\times (10+16)\times 8$ $\text{พื้นที่คางหมู}=\frac{1}{2}\times 26\times 8=104\text{ ตารางเมตร}$

ขั้นที่ 2: หาพื้นที่แปลงดอกไม้รูปครึ่งวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง $d=10$ เมตร จะได้รัศมี $r=5$ เมตร $\text{พื้นที่วงกลมเต็มรูป}=\pi r^2=3.14\times (5{)}^2=3.14\times 25=78.5\text{ ตารางเมตร}$ $\text{พื้นที่ครึ่งวงกลม}=\frac{78.5}{2}=39.25\text{ ตารางเมตร}$

ขั้นที่ 3: หาพื้นที่รวม $\text{พื้นที่รวม}=104+39.25=143.25\text{ ตารางเมตร}$

ดังนั้น พื้นที่ทั้งหมดรวมกันคือ 143.25 ตารางเมตร!

ตัวอย่างที่ 3: ระดับยาก (พื้นที่เส้นรอบรูปประยุกต์)

ลู่วิ่งรอบสนามแห่งหนึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรงกลาง กว้าง 42 เมตร ยาว 100 เมตร และมีเส้นโค้งรูปครึ่งวงกลมติดอยู่ทั้งสองด้านของความกว้าง ถ้านักวิ่งวิ่งรอบลู่นี้ 5 รอบพอดี นักวิ่งคนนี้จะวิ่งได้ระยะทางทั้งหมดกี่กิโลเมตร? (กำหนด $\pi =\frac{22}{7}$)

วิธีทำ ขั้นที่ 1: วิเคราะห์รูปร่างของลู่วิ่ง เส้นรอบรูปของลู่วิ่งเกิดจาก:

• เส้นตรง 2 เส้น (ความยาวของสนาม) เส้นละ 100 เมตร
• เส้นโค้งครึ่งวงกลม 2 เส้นซ้ายขวา รวมกันเป็น 1 วงกลมเต็ม โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 42 เมตร

ขั้นที่ 2: หาความยาวของส่วนที่เป็นเส้นโค้งวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง $d=42$ เมตร ดังนั้น $r=21$ เมตร $\text{เส้นรอบวงกลม}=2\pi r$ $\text{เส้นรอบวงกลม}=2\times \frac{22}{7}\times 21$ $\text{เส้นรอบวงกลม}=2\times 22\times 3=132\text{ เมตร}$

ขั้นที่ 3: หาระยะทางต่อ 1 รอบ ระยะทาง 1 รอบ = ความยาวเส้นตรง 2 เส้น + ความยาวเส้นรอบวงกลม $\text{ระยะทาง 1 รอบ}=(100\times 2)+132$ $\text{ระยะทาง 1 รอบ}=200+132=332\text{ เมตร}$

ขั้นที่ 4: หาระยะทางทั้งหมดเมื่อวิ่ง 5 รอบ $\text{ระยะทาง 5 รอบ}=332\times 5=1,660\text{ เมตร}$

เปลี่ยนหน่วยเป็นกิโลเมตร โดยนำ 1,000 ไปหาร: $\frac{1,660}{1,000}=1.66\text{ กิโลเมตร}$

ดังนั้น นักวิ่งจะวิ่งได้ระยะทางทั้งหมด 1.66 กิโลเมตร!