ปริมาตรและพื้นที่ผิว

ในการทำข้อสอบ เรื่องปริมาตรมักเป็นเรื่องที่ออกสอบบ่อย โดยเฉพาะการประยุกต์เกี่ยวกับการเติมน้ำ การตักดิน หรือการเปรียบเทียบความจุ ซึ่งรูปทรงพื้นฐานที่ควรจำมีดังนี้

2.1 ปริซึม และ ทรงกระบอก

หลักการจำง่ายๆ ทั้งคู่มีหน้าตัด(ฐาน) สองด้านที่เท่ากันทุกประการ ดังนั้นสูตรปริมาตรคือ "เอาพื้นที่ฐานมาคูณกับความสูง" ได้เลย

1. ปริซึม (Prism)

ลักษณะเป็นได้ตั้งแต่กล่อง กล่องสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ปริซึมสามเหลี่ยม ฯลฯ

• ปริมาตร = $\text{พื้นที่ฐาน}\times \text{สูง}$
• (พบบ่อย) ปริมาตรกล่องสี่เหลี่ยมมุมฉาก = $\text{กว้าง}\times \text{ยาว}\times \text{สูง}$
• (พบบ่อย) ปริมาตรลูกบาศก์ = $\text{ด้าน}\times \text{ด้าน}\times \text{ด้าน}$
• พื้นที่ผิวปริมซึม = $\text{พื้นที่ผิวข้าง}+\text{พื้นที่ฐานทั้งสอง}$

2. ทรงกระบอก (Cylinder)

ฐานเป็นรูปวงกลม

• ปริมาตรทรงกระบอก = $\text{พื้นที่ฐาน}\times \text{สูง}=\pi r^{2}h$
• พื้นที่ผิวทั้งหมด = $\text{พ.ท.ผิวข้าง}+\text{พ.ท.ฐาน 2 ด้าน}=2\pi rh+2\pi r^2$

2.2 พีระมิด และ กรวย

หลักการจำคือ ทั้งพีระมิดและกรวยจะมีลักษณะ "ปลายแหลม" เมื่อเทน้ำจากรูปปลายแหลมเหล่านี้ใส่ลงในรูปทรงตรง (ปริซึม/ทรงกระบอก) ที่มีฐานและส่วนสูงเท่ากัน จะต้องเทถึง "3 ครั้ง" จึงจะเต็มพอดี จึงเป็นที่มาว่ามีค่าเป็น 1 ใน 3 ของรูปทรงตรง

1. พีระมิด (Pyramid)

• ปริมาตรพีระมิด = $\frac{1}{3}\times \text{พื้นที่ฐาน}\times \text{สูง(ตรง)}$
• พื้นที่ผิวทั้งหมด = $\text{พื้นที่ผิวข้าง}+\text{พื้นที่ฐาน}$

2. กรวย (Cone)

• ปริมาตรกรวย = $\frac{1}{3}\times \text{พื้นที่วงกลม}\times \text{สูง(ตรง)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• พื้นที่ผิวทั้งหมด = $\text{พ.ท.ผิวข้าง}+\text{พ.ท.ฐาน}=\pi rl+\pi r^2$ (เมื่อ $l$ คือความสูงเอียง)

ตัวอย่างโจทย์ (ระดับง่าย - กลาง - ยาก)

ตัวอย่างที่ 1: ระดับง่าย (ลูกบาศก์และปริมาตรกล่อง)

บริษัทขนส่งต้องการนำกล่องพัสดุทรงลูกบาศก์ขนาดด้านละ 10 เซนติเมตร จัดเรียงใส่ลงในตู้คอนเทนเนอร์ขนาดเล็ก กว้าง 40 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง 30 เซนติเมตร จะสามารถใส่กล่องพัสดุได้มากที่สุดกี่กล่อง?

วิธีทำ วิธีคิดแบบที่ 1: เทียบปริมาตร $\text{ปริมาตรตู้}=40\times 50\times 30=60,000\text{ ลบ.ซม.}$ $\text{ปริมาตรกล่องเล็ก}=10\times 10\times 10=1,000\text{ ลบ.ซม.}$ $\text{จำนวนกล่อง}=\frac{60,000}{1,000}=60\text{ กล่อง}$

วิธีคิดแบบที่ 2: นับจำนวนด้าน (แนะนำ ลดความผิดพลาด) ด้านกว้างใส่ได้ = $\frac{40}{10}=4$ กล่อง ด้านยาวใส่ได้ = $\frac{50}{10}=5$ กล่อง ด้านสูงใส่ได้ = $\frac{30}{10}=3$ ชั้น รวมจำนวนกล่องทั้งหมด = $4\times 5\times 3=60$ กล่อง

ดังนั้น สามารถจัดเรียงกล่องได้ทั้งหมด 60 กล่อง!

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (การตักดิน กว้าง ยาว ลึก)

ชาวบ้านต้องการขุดสระน้ำรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยมีความกว้าง 10 เมตร ยาว 20 เมตร และขุดลึกลงไป 3 เมตร หากรถบรรทุกดินสามารถขนดินได้รอบละ 15 ลูกบาศก์เมตร จะต้องใช้รถบรรทุกทั้งหมดกี่รอบจึงจะขนดินออกไปได้หมด?

วิธีทำ ต้องหาปริมาตรของดินทั้งหมดที่ขุดขึ้นมาให้ได้ก่อน $\text{ปริมาตรดิน}=\text{กว้าง}\times \text{ยาว}\times \text{ลึก}$ $\text{ปริมาตรดิน}=10\times 20\times 3=600\text{ ลูกบาศก์เมตร}$

หากรถขนได้รอบละ 15 ลูกบาศก์เมตร $\text{จำนวนรอบ}=\frac{600}{15}=40\text{ รอบ}$

ดังนั้น จะต้องใช้งานรถบรรทุกดินทั้งหมด 40 รอบ!

ตัวอย่างที่ 3: ระดับยาก (การเติมน้ำตู้ปลาให้เต็ม)

ตู้ปลาตู้หนึ่งมีขนาดกว้าง 30 ซม. ยาว 60 ซม. และสูง 45 ซม. ขณะนี้มีน้ำอยู่ในตู้ปลาสูงจากก้นตู้ 25 ซม. หากต้องการเติมน้ำเพิ่มให้ระดับน้ำห่างจากขอบตู้ด้านบน 5 ซม. พอดี จะต้องเติมน้ำเพิ่มอีกกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร? (และคิดเป็นกี่ลิตร?)

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ไม่ได้ให้หาปริมาตรน้ำหรือตู้ทั้งหมด แต่ให้หาปริมาตรของ "น้ำส่วนที่ต้องเติมเพิ่ม"

ขั้นที่ 1: วิเคราะห์ความสูงของน้ำที่ต้องเตรียมเติมเพิ่ม ความสูงรวมของตู้ = 45 ซม. ระดับนำ้เดิม = 25 ซม. ระดับปลายทางที่ต้องการคือ ห่างขอบตู้ 5 ซม. แปลว่าต้องการให้น้ำสูง = 45 - 5 = 40 ซม.

ดังนั้น ความสูงของชั้นน้ำที่จะต้องถูกเติมลงไปเพิ่มคือ $40\text{ (เป้าหมาย)}-25\text{ (ของเดิม)}=15\text{ ซม.}$

ขั้นที่ 2: หาปริมาตรของปริมาณน้ำที่ต้องเติม โดยใช้ส่วนกว้างยาวเดิมของตู้ปลา แต่ใช้ความสูงแค่ส่วนที่จะเติม $\text{ปริมาตรน้ำที่เติมเพิ่ม}=\text{กว้าง}\times \text{ยาว}\times \text{สูงส่วนที่เติม}$ $\text{ปริมาตรน้ำที่เติมเพิ่ม}=30\times 60\times 15$ $\text{ปริมาตรน้ำที่เติมเพิ่ม}=1,800\times 15=27,000\text{ ลบ.ซม.}$

ขั้นที่ 3: หากโจทย์ถามเป็นหน่วยลิตร หลักการจำ: 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1 ลิตร $\frac{27,000}{1,000}=27\text{ ลิตร}$

ดังนั้น ต้องเติมน้ำเพิ่มอีก 27,000 ลบ.ซม. (หรือคิดเป็น 27 ลิตร)!