การหาพื้นที่แรเงาและพื้นที่ซับซ้อน

หัวข้อการหาพื้นที่แรเงามักออกสอบอย่างสม่ำเสมอ หลักการและเครื่องมือในการไขปริศนาเรื่องนี้มีจำกัดเพียงไม่กี่วิธี หากเราเข้าใจหลักการเหล่านี้ จะสามารถทำโจทย์ได้ทุกรูปแบบ

หลักการหลักๆ ในการทำโจทย์พื้นที่แรเงา

1. หาพื้นที่แผ่นใหญ่ แล้วลบด้วยพื้นที่สีขาว (ส่วนที่ไม่ต้องการ) นี่คือวิธีมาตรฐานที่สุด $\text{พื้นที่แรเงา}=\text{พื้นที่รูปแผ่นใหญ่ทั้งหมด}-\text{พื้นที่ส่วนว่าง (สีขาว)}$

2. การตัดแปะจิ๊กซอว์ / การเลื่อนรูป บางครั้งรูปแรเงาแยกกัน หรือดูเป็นรูปที่คำนวณสูตรไม่ได้ ให้ลองลากเส้นสมมติ หรือแบ่งชิ้นส่วนที่มี แล้วสลับเอาไปเติมในส่วนที่เว้าแหว่ง บางครั้งมันจะประกอบร่างกลายเป็นรูปเรขาคณิตธรรมดาๆ (เช่น สี่เหลี่ยม หรือ สามเหลี่ยมเต็มรูปพอดี)

3. การเทียบสัดส่วน หรือ หาส่วนของพื้นที่ หากมีการแบ่งด้านต่างๆ เท่าๆ กัน เราอาจใช้การนับช่อง เพื่อหาว่าส่วนที่แรเงาคิดเป็นกี่ส่วนจากทั้งหมด แล้วนำเศษส่วนนั้นไปคูณกับพื้นที่ทั้งหมด

เทคนิคลัดรูปพิเศษ (สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมภายใน)

หากเจอโจทย์ที่มีรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วมีเส้นลากจากมุมล่างซ้ายและขวา ขึ้นไปตัดกันที่กึ่งกลางของกรอบด้านบน เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านในสุด แล้วโจทย์ถามหาพื้นที่แรเงาที่มีการแบ่งส่วนลากเส้นต่อไปยังจุดกึ่งกลางของด้านข้าง ดังรูป

(จำลองลักษณะ: จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่กึ่งกลางด้านบน และมีเส้นลากกึ่งกลางด้านซ้ายขวาประกอบกันเกิดเป็นพื้นที่แรเงาภายในรูปสามเหลี่ยมใหญ่นั้น)

สูตรลัด: หากแบ่งครึ่ง 2 ด้าน $\text{พื้นที่แรเงาบริเวณนั้น}=\frac{3}{8}\times \text{พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปใหญ่}$

ตัวอย่างโจทย์ (ระดับง่าย - กลาง - ยาก)

ตัวอย่างที่ 1: ระดับง่าย (สี่เหลี่ยมและวงกลม)

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวด้านละ 14 เซนติเมตร ภายในมีรูปวงกลมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดบรรจุอยู่พอดี จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงาซึ่งอยู่นอกวงกลมแต่อยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส (กำหนด $\pi =\frac{22}{7}$)

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (การเดินรอบสนามรูปเหลี่ยมต่างๆ)

สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 90 เมตร ยาว 160 เมตร ถ้าสมรเดินรอบสนามนี้จำนวน 2 รอบ แล้วเปลี่ยนไปเดินรอบสนามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดพื้นที่เท่ากับสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใบแรก อีก 1 รอบ สมรจะเดินได้ระยะทางทั้งหมดกี่เมตร?

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 3: ระดับยาก (ประยุกต์ใช้สูตรลัด หรือ พื้นที่ใหญ่ลบพื้นที่ขาว)

สี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 16 หน่วย ยาว 20 หน่วย มีรูปแรเงาที่เกิดจากการลากเส้นจากมุมล่างซ้ายและขวา ขึ้นไปตัดกันที่กึ่งกลางของกรอบด้านบน เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านในสุด แล้วลากเส้นต่อไปยังจุดกึ่งกลางของด้านข้าง ดังรูปในสูตรลัดด้านบน จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงาในรูปนี้

วิธีทำ